Pendiente y ángulo de inclinación de una recta que pasa por dos puntos dados. Lehmann 3.4

3.4  Hallar la pendiente y el ángulo de inclinación de la recta que pasa por los puntos (-3, 2) y (7, -3).
Solución-Juan Beltrán:

Definición: el ángulo de inclinación de una recta en el plano es aquél formado por el semieje positivo X y la recta.

Definición: la pendiente o coeficiente angular, m,  de una recta es la tangente del ángulo de inclinación de la recta. Si A es el ángulo de inclinación, se tiene entonces que:

m = tanA

Teorema: Si P₁(x₁, y₁) y P₂(x₂, y₂)  son dos puntos distintos de una recta, la pendiente, m, de la recta está dada por:

Translación de ejes. Transformar una ecuación. Lehmann 20.7.

Teorema: Si se trasladan los ejes coordenados a un nuevo origen O'(h, k), y si las coordenadas de cualquier punto P antes y después de la traslación son (x, y) y (x', y'), respectivamente, las ecuaciones de transformación del sistema primitivo al nuevo sistema de coordenadas son: 

x = x' + h 

y = y' + k

20.7 Por una traslación de ejes, transforme la ecuación 3x² + 2y² + 18x - 8y + 29 = 0 en otra ecuación que carezca de términos de primer grado.

Solución-Juan Beltran:

Ecuación de la hipérbola. Coordenadas de los vértices y focos, las longitudes de los ejes transverso y conjugado, la excentricidad y la longitud de cada lado recto. Lehmann 30.6

30.6 Hállense las coordenadas de los vértices y focos, las longitudes de los ejes transverso y conjugado, la excentricidad y la longitud de cada lado recto. Trácese y discútase el lugar geométrico. Para la ecuación 9x²-4y²=36.

Solución-Juan Beltran:

Definición: una hipérbola es el lugar geométrico de un punto que se mueve en el plano de tal manera que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos del plano, llamados focos, es siempre constante, positiva y menor que la distancia entre los focos.

Ecuación de la hipérbola. Lehmann 30.2

30.2 Demostrar que si P₁ es un punto cualquiera cuyas coordenadas satisfacen la ecuación b²x²-a²y²=a²b², entonces P₁ está sobre la hipérbola representada por esta ecuación.

Solución-Juan Beltran:

Definición: una hipérbola es el lugar geométrico de un punto que se mueve en el plano de tal manera que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos del plano, llamados focos, es siempre constante, positiva y menor que la distancia entre los focos.

Ecuación de la elipse. Lehmann 27.29

27.29  Hallar e identificar la ecuación del lugar geométrico de los puntos que dividen a las ordenadas de los puntos de la circunferencia x^2+y^2=16 en la razón 1:4.
Solución-Juan Beltrán:
Definición: Una elipse es el lugar geométrico de un punto P que se mueve en el plano de tal modo que la suma de sus distancias a dos puntos fijos, llamados focos de la elipse, F y F', de ese plano es constante y mayor que la distancia entre los dos focos.

Más soluciones de los ejercicios de Lehmann AQUI

Ecuación de la elipse. Lehmann 27.27

27.27  Hallar e identificar la ecuación del lugar geométrico de un punto que se nueve de tal manera que su distancia a la recta y=-8 es siempre igual al doble de su distancia del punto (0,-2)
Solución-Juan Beltrán:
Definición: Una elipse es el lugar geométrico de un punto P que se mueve en el plano de tal modo que la suma de sus distancias a dos puntos fijos, llamados focos de la elipse, F y F', de ese plano es constante y mayor que la distancia entre los dos focos.

Más soluciones de los ejercicios de Lehmann AQUI

Ecuación de la elipse, coordenadas de los vértices y focos, las longitudes de los ejes mayor y menor, la excentricidad y la longitud de los lados rectos Lehmann 27.6

27.6  Hallar las coordenadas de los vértices y focos, las longitudes de los ejes mayor y menor, la excentricidad y la longitud de cada uno de los lados rectos de la elipse cuya ecuación es 9x^2+4y^2=36.
Solución-Juan Beltrán:
Definición: Una elipse es el lugar geométrico de un punto P que se mueve en el plano de tal modo que la suma de sus distancias a dos puntos fijos, llamados focos de la elipse, F y F', de ese plano es constante y mayor que la distancia entre los dos focos.

Más soluciones de los ejercicios de Lehmann AQUI

Ecuación de la elipse (forma ordinaria). Lehmann 27.1

27.1  Deducir la ecuación ordinaria (canónica) de la elipse en el caso que el eje focal coincida con el ejey.
Solución-Juan Beltrán:
Definición: Una elipse es el lugar geométrico de un punto P que se mueve en el plano de tal modo que la suma de sus distancias a dos puntos fijos, llamados focos de la elipse, F y F', de ese plano es constante y mayor que la distancia entre los dos focos.

Ecuación de la parábola de vértice en el origen y eje un eje coordenado. Lehmann 23.2

“La parábola se define como el lugar geométrico de los puntos de un plano que equidistan de una recta llamada directriz, y un punto exterior a ella llamado foco”. Más información.

Ecuación de la parábola de vértice en el origen y eje un eje coordenado. Lehmann 23.1

“La parábola se define como el lugar geométrico de los puntos de un plano que equidistan de una recta llamada directriz, y un punto exterior a ella llamado foco”. Más información.

Transformación de coordenadas. Traslación de los ejes coordenados. Lehmann 20.5

Teorema: Si se trasladan los ejes coordenados a un nuevo origen O'(h, k), y si las coordenadas de cualquier punto P antes y después de la traslación son (x, y) y (x', y'), respectivamente, las ecuaciones de transformación del sistema primitivo al nuevo sistema de coordenadas son: 

x = x' + h 

y = y' + k 

Transformación de coordenadas. Traslación de los ejes coordenados. Lehmann 20.3

Teorema: Si se trasladan los ejes coordenados a un nuevo origen O'(h, k), y si las coordenadas de cualquier punto P antes y después de la traslación son (x, y) y (x', y'), respectivamente, las ecuaciones de transformación del sistema primitivo al nuevo sistema de coordenadas son: 

x = x' + h 

y = y' + k 

Transformación de coordenadas. Traslación de los ejes coordenados. Lehmann 20.1

Teorema: Si se trasladan los ejes coordenados a un nuevo origen O'(h, k), y si las coordenadas de cualquier punto P antes y después de la traslación son (x, y) y (x', y'), respectivamente, las ecuaciones de transformación del sistema primitivo al nuevo sistema de coordenadas son:

x = x' + h 

y = y' + k 

 

Lehmann 17.7. Familias de circunferencias

Lehmann 17.6. Familias de circunferencias

Lehmann 17.1. Familias de circunferencias

Lehmann 16.33. Ecuación de la circunferencia

Lehmann 15.4. Ecuación de la circunferencia con centro dado y tangente al ejey

Lehmann 10.2. Hallar la ecuación de la recta, determinando los coeficientes de la forma general

Lehmann 10.1. Transformar la forma general de la ecuación de una recta a la forma simétrica

Lehmann 9.30. Ecuación de la recta en forma de determinante

Lehmann 9.5. Ecuaciones de los lados de un cuadrilatero.

Lehmann 9.4. Ecuación de la recta que pasa por dos puntos dados.

Lehmann 9.3. Ecuación de la recta con pendiente e intercepción con el ejey.

Lehmann 9.2. Ecuación de la recta que pasa por un punto y ángulo de inclinación dado.

Lehmann 9.1. Ecuación de la recta que pasa por un punto y con pendiente dada.

Ejercicios de distancia. Lehmann 2.1 y 2.2

Ejercicios de distancia. Lehmann 2.3

Lehmann 1.10. Sistema coordenado lineal

Lehmann 1.9. Sistema coordenado lineal

Lehmann 1.8. Sistema coordenado lineal

Lehmann 1.7. Sistema coordenado lineal

Lehmann 1.6. Sistema coordenado lineal

Lehmann 1.5. Distancia entre dos puntos

Teorema: En un sistema coordenado lineal, la longitud del segmento dirigido que une dos puntos se obtiene, en magnitud y signo, restando la coordenada del punto de origen de la coordenada del punto final. La distancia entre dos puntos se define como el valor numérico (valor absoluto) de la longitud del segmento rectilíneo que une esos dos puntos.

Lehmann 1.4. Distancia entre dos puntos

Teorema: En un sistema coordenado lineal, la longitud del segmento dirigido que une dos puntos se obtiene, en magnitud y signo, restando la coordenada del punto de origen de la coordenada del punto final. La distancia entre dos puntos se define como el valor numérico (valor absoluto) de la longitud del segmento rectilíneo que une esos dos puntos.

Lehmann 1.3. Recta dirigida

Sea un segmento de recta AB, con A y B los extremos del segmento, si se considera que el segmento es generado por un punto que se mueve a lo largo de la recta de A hacia B, se tiene entonces un segmento dirigido de A a B y se indica mediante una flecha.

El punto A se denomina origen o punto inicial y el punto B extremo o punto final.

Lehmann 1.2. Recta dirigida

Sea un segmento de recta AB, con A y B los extremos del segmento, si se considera que el segmento es generado por un punto que se mueve a lo largo de la recta de A hacia B, se tiene entonces un segmento dirigido de A a B y se indica mediante una flecha.

El punto A se denomina origen o punto inicial y el punto B extremo o punto final.

Lehmann 1.1. Recta dirigida

Sea un segmento de recta AB, con A y B los extremos del segmento, si se considera que el segmento es generado por un punto que se mueve a lo largo de la recta de A hacia B, se tiene entonces un segmento dirigido de A a B y se indica mediante una flecha.

El punto A se denomina origen o punto inicial y el punto B extremo o punto final.